Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học là một cuốn tự điển về bất đẳng thức trong toán học, được viết bởi nhà toán học Trần Phương.
Đây là một công trình đồ sộ, hơn nghìn trang giấy được tập hợp lại từ các nghiên cứu của nhiều tác giả khác nhau ở Việt Nam cũng như trên toàn thế giới.
Ngày nay, khi mà internet phát triển, việc trao đổi thông tin trở nên dễ dàng. Tại các diễn đàn toán học, có rất nhiều vấn đề được đem ra để thảo luận, trong đó có bất đẳng thức.
[ điểm cốt lõi ở trong tác phẩm ] : “những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học”
Xuyên suốt cuốn sách là những bất đẳng thức hay, khó đi kèm với đó là những tư tưởng về những kỹ thuật công phá các lớp bất đẳng khác nhau trong toán học, được tinh lọc và dồn nén một cách kỹ lưỡng dù trải qua thời gian vẫn mãi sáng và đẹp. Điều này giải thích vì sao tác giả lại đặt tên cuốn sách là Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học.
Cách trình bày của tác giả Trần Phương là sáng sủa và rất sư phạm, các bài tập đi từ dễ đến khó đúng theo quy luật của nhận thức. Các chương mục được sắp đặt theo trình tự của thời gian: từ bất đẳng thức cổ điển sang bất đẳng thức cận đại rồi tới các bất đẳng thức hiện đại.
Có ý kiến cho rằng học bất đẳng thức chẳng có ích lợi gì bởi nó chẳng áp dụng được vào đâu. Ý này là hoàn toàn đúng, nhưng chỉ đúng đối với những người mạnh về tư duy cụ thể. Đối với những người mạnh về tư duy trừu tượng, việc học bất đẳng thức cũng mang đến những lợi ích nhất định. Một số lợi ích về phương pháp luận có thể kể ra như là:
#1 Các bất đẳng thức, về cơ bản được xây dựng nên từ những tiên đề cơ bản của số thực. Trong đó tiên đề kinh điển nhất chính là: \(x^2 \ge 0\). Từ những tiên đề này chúng ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức AM – GM 2 số: \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). Và bất đẳng thức AM – GM 3 số có lẽ là những manh nha đầu tiên cho phương pháp SOS: Nếu đặt \(S_a\) \(=\) \(S_b\) \(=\) \(S_c\) \(=\) \(a + b + c\) thì: \(a^3\) \(+\) \(b^3\) \(+\) \(c^3\) \(-\) \(3abc\) \(=\) \(S_a(b-c)^2\) \(+\) \(S_b(c-a)^2\) \(+\) \(S_c(a-b)^2\)
#2 Bất đẳng thức AM – GM n số có dạng: \(\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} \ge (\prod_{i=1}^n a_i)^\frac{1}{n}\), với \(a_i > 0\) có thể chứng minh nhiều cách dựa trên phương pháp quy nạp. Có một chi tiết khá tiết khá thú vị ở đây, đó là khi đặc biệt hoá AM – GM ta thu được bất đẳng thức Bernoulli: \(x^n + (n-1) \ge nx\). Ngược lại nếu bất đẳng thức Becnuli đúng cũng suy ngược ra được bất thức AM – GM tổng quát cũng đúng. Hơn nữa trong các cách chứng minh AM – GM tổng quát thì phương pháp xấp xỉ Polya cũng đã chứa trong đó tư tưởng dồn biến về tâm.
Từ bất đẳng thức AM – GM này chúng ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức CBS, Holder, Minkowski. Việc áp dụng các bất đẳng thức đã biết này vào những trường hợp cụ thể đòi hỏi suy nghĩ chúng ta phải trở nên linh hoạt. Khi nói số \(a\) chúng ta cần nhận định ngầm nó dưới các dạng thức như là: \(a\) \(=\) \((a + b) – b\) \(=\) \(a.\frac{b}{a}\) \(=\) \((a^b)^\frac{1}{b}\). Tất nhiên sự linh hoạt đòi hỏi thêm chúng ta kỹ thuật chọn điểm rơi, khi nào dấu \(“=”\) xảy ra.
#3 Bất đẳng thức hoán vị là một bất đẳng thức nguyên thủy có thể chứng minh được trực tiêp bằng phép khai triển Abel. Từ bất đẳng thức hoán vị chúng ta cũng có thể suy ra được bất đẳng thức Chebyshev.
#4 Bất đẳng thức Iran 1996 có dạng: \((ab + bc + ca)\)\((\frac{1}{(a+b)^2} + \frac{1}{(b+c)^2} + \frac{1}{(a+b)^2})\) \(\ge\) \(\frac{9}{4}\), với \(a\), \(b\), \(c\) \(> 0\). Đây là một bất đẳng thức đẹp và rất khó để công phá, nếu chỉ sử dụng các bất đẳng thức thông thường. Lúc này bất đẳng thức Schur xuất hiện, bất đẳng thức Schur có dạng: \(a^3\) \(+\) \(b^3\) \(+\) \(c^3\) \(+\) \(3abc\) \(\ge\) \(bc(b+c)\) \(+\) \(ca(c+a)\) \(+\) \(ab(a+b)\) . Bất đẳng Schur là một bất đẳng thức rất chặt có thể giải quyết bất đẳng thức Iran 1996 một cách gọn nhẹ. Thông thường bất đẳng thức Schur thường được kết hợp với bất đẳng thức Muirhead hoặc phương pháp pqr để giải các bất đẳng thức đối xứng 3 biến.
Ở đây có một lưu ý nho nhỏ là tất cả các bất đẳng thức đồng bậc đều có thể chuẩn hóa về bất đẳng thức có điều kiện và ngược lại hầu hết các bất đẳng thức có điều kiện đều có thể đưa ngược lại về bất đẳng thức đồng bậc.
#5 Có thể sử dụng giải tích để chứng minh bất đẳng thức không? Khi nói đến giải tích là nói đến số thực và giới hạn. Nếu một hàm \(f\) khả vi tại điểm \(x_0\) thì ý nghĩa của \(f'(x_0)\) chính là hệ số góc của đường tiếp tuyến tại điểm \((x_0,f(x_0))\) với đồ thị hàm số. Nếu \(f'(x)>0\) trong một khoảng nào đó thì hàm số sẽ có xu hướng đi lên và ngược lại, nếu \(f'(x)<0\) trong một khoảng nào đó thì hàm số sẽ có xu hướng đi xuống.
Giả sử tại một điểm \(\alpha\) nào đó mà \(f'(\alpha) = 0\) . Với \(x<\alpha\) hàm số đi lên, \(x>\alpha\) hàm số đi xuống. Khi đó điểm \((\alpha,f(\alpha))\) là điểm cực đại.
Hàm lồi là hàm có \(f”(x) < 0\) trên miền xác định. Khi đó tiếp tuyến với đồ thị hàm số sẽ nằm trên hoàn toàn đồ thị hàm số đó. Các bất đẳng thức về hàm lồi nổi tiếng có thể kể ra là Jensen và Karamata.
#6 Phương pháp GLA cho chúng ta thấy được phần nào sự liên hệ giữa đại số và hình học. Phương pháp này bắt đầu manh nha từ bài thi toán quốc tế IMO 1983, bất đẳng thức: \(a^2b(a-b)\) \(+\) \(b^2c(b-c)\) \(+\) \(c^2a(c-a)\) \(\ge 0\) nghiệm đúng với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Đây là đề do đoàn Mỹ đề nghị. Lời giải của bài thi này rất hay.
Giả sử tam giác \(ABC\) có 3 cạnh, \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\). \(A_0\), \(B_0\), \(C_0\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tâm (I) của tam giác. Đặt \(AB_0\) \(=\) \(AC_0\) \(=\) \(x\), \(BC_0\) \(=\) \(BA_0\) \(=\) \(y\), \(CA_0\) \(=\) \(CB_0\) \(=\) \(z\).
Vậy thì \(a\) \(=\) \(BC\) \(=\) \(BA_0\) \(+\) \(CA_0\) \(=\) \(y+z\), \(b\) \(=\) \(CA\) \(=\) \(CB_0\) \(+\) \(AB_0\) \(=\) \(z+x\), \(c\) \(=\) \(AB\) \(=\) \(AC_0\) \(+\) \(BC_0\) \(=\) \(x+y\). (*). Thay phép thế trên vào bất đẳng thức ban đầu chúng ta còn phải chứng minh bất đẳng thức: \(xy^3\) \(+\) \(yz^3\) \(+\) \(zx^3\) \(\ge\) \(xyz(x+y+z)\). Sử dụng bất đẳng thức AM – GM chúng ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức này.
Tuy nhiên ở đây có một chi tiết khá thú vị, đó là năm 1983 có một thí sinh đưa ra một lời giải hết sức sáng tạo, chỉ có hai dòng biến đổi đại số và đạt được giải đặc biệt.
Từ phép thế (*) khi đặt p là nửa chu vi thì ta có được hệ thức: \(x=p-a\), \(y=p-b\), \(z=p-c\) Đây chính là nội dung cơ bản của phương pháp GLA.
Tác giả Trần Phương
Trần Phương sinh năm 1965 tại Hải Phòng. Ông từng là cựu học sinh của khối chuyên toán đại học Tổng Hợp Hà Nội (nay là Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội). Ông tốt nghiệp khoa Toán Đại học Sư phạm Hà Nội I năm 1988.
Trần Phương là tác giả của hơn 50 đầu sách Toán với hàng chục năm kinh nghiệm huấn luyện các đội tuyển Olympic Toán học của Việt Nam và được đánh giá là một trong những chuyên gia hàng đầu về bất đẳng thức.
Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông có thể kể đến là cuốn “Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học”, đạt Giải thưởng Tinh hoa Việt Nam năm 2007 tại Lễ vinh danh Doanh nghiệp WTO lần thứ nhất. Bản tóm tắt của cuốn sách được trao tặng cho 95 đoàn tham dự IMO 48 năm 2007 tại Việt Nam.
40 lượt đọcBài viết mới sẽ tự động gửi vào trong email của bạn
Victor là thợ đánh giá sách. Anh ấy là một người đọc cần mẫn. Giống như mọi người, trí nhớ và trực giác của anh ấy đôi khi cũng có thể sai lầm?! Hãy thông cảm cho anh ấy vì điều này...
